素数について調べてみた！！

こんにちはー(^^)cos1です！

今回も前回に引き続き素数について調べてみました！今回調べた中で、最も衝撃の事実は…

素数の逆数の無限和は正の無限大に発散する！！

ということです！

何言ってんだこの人(o_o)と思った人もいれば、当たり前だろ(￣▽￣)と思った人もいると思います。そこで今回はこの驚きを伝えたいと思います！

まず、素数が無限にあることは背理法で証明できます。（もし素数が有限だとすると一番大きい素数をPとして、2×3×5×…×P+1がPより大きい素数になり矛盾）

そのうえで、素数の逆数の無限和とは、1/2+1/3+1/5+…のことですが、一般に無限に足したら和も無限にいくかと言ったら必ずしもそうではありません。

（1/2+1/4+1/8+1/16+…＝1であることは紙を半分にちぎり、さらに半分にちぎり…ということをやると容易にわかると思います。）

素数の逆数の無限和との比較対象として、平方数の逆数の無限和が、π^2/6（≒1.64）となり収束します。これはかなり意外な結果ではないでしょうか！

繰り返しますと、1/2+1/3+1/5+…＝∞であり、1/1+1/4+1/9+…≒1.64です！！

（両式の証明は、調べると出てくるので省かせてもらいます。）

これで、最初に言ったことの驚きは伝わったかと思います(^^)補足で書くと、発散のスピードはかなり遅いです。1からNまでの素数の逆数の和は約log log Nです。log log（一兆）＝3.32くらいです。これもまた興味深いですね！！

今回はこの辺でー(^^)それではー！